Тригонометрические тождества

Материал из Seekland Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Основные тригонометрические тождества

Формула Область определения Доказательство
\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) \(\forall \alpha\) Теорема Пифагора (1)
\( \mbox{tg}^2 \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{\mbox{ctg}^2 \alpha }\) \( \cos \alpha \ne 0 =>\\ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb Z\) по определению (2)
\( \mbox{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\mbox{tg}^2 \alpha }\) \( \sin \alpha \ne 0 =>\\ \alpha \neq \pi n, n \in \mathbb Z\) по определению (3)
\( \mbox{sec} \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} \) \( \cos \alpha \ne 0 =>\\ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb Z\) по определению (4)
\( \mbox{cosec} \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}\) \( \sin \alpha \ne 0 =>\\ \alpha \neq \pi n, n \in \mathbb Z\) по определению (5)
\( \mbox{tg}\alpha * \mbox{ctg}\alpha = 1 \) \( \cos \alpha \ne 0 =>\\ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb Z\)

\( \sin \alpha \ne 0 =>\\ \alpha \neq \pi n, n \in \mathbb Z\)

\( \mbox{tg}\alpha * \mbox{ctg}\alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}* \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=1\) (6)
\( \mbox{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \mbox{sec}^2 \alpha \) \( \cos \alpha \ne 0 =>\\ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb Z\) \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 => \cos^2 \alpha(\mbox{tg}^2 \alpha + 1) = 1 =>\\ \mbox{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha} = \sec^2 \alpha\) (7)
\( \mbox{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \mbox{cosec}^2 \alpha \) \( \sin \alpha \ne 0 =>\\ \alpha \neq \pi n, n \in \mathbb Z\) \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 => \sin^2 \alpha(1 +\mbox{ctg}^2 \alpha) = 1 =>\\ \mbox{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2\alpha} = \mbox{cosec}^2 \alpha\) (8)

Формулы сложения и вычитания

Формулы сложения и вычитания Доказательство
\(\sin \left( \alpha \pm \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \) (9)
\(\cos \left( \alpha \pm \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\) (10)
\(\mbox{tg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \mbox{tg} \alpha \pm \mbox{tg} \beta}{1 \mp \mbox{tg} \alpha \mbox{tg}\beta}\) \(\mbox{tg}\left (\alpha \pm \beta \right) = \frac{\sin \left( \alpha \pm \beta \right)}{\cos \left( \alpha \pm \beta \right)}=\frac{\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta}=\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}\frac{\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta}{1 \mp \mbox{tg} \alpha \mbox{tg}\beta}=\frac{ \mbox{tg} \alpha \pm \mbox{tg} \beta}{1 \mp \mbox{tg} \alpha \mbox{tg}\beta}\) (11)
\(\mbox{ctg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \mbox{ctg} \alpha \mbox{ctg} \beta \mp 1}{\mbox{ctg} \beta \pm \mbox{ctg}\alpha}\) \(\mbox{ctg}\left (\alpha \pm \beta \right) = \frac{\cos \left( \alpha \pm \beta \right)}{\sin \left( \alpha \pm \beta \right)}=\frac{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta}=\sin \alpha \sin \beta\frac{\mbox{ctg}\alpha \mbox{ctg}\beta \mp 1}{\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta}=\frac{\mbox{ctg}\alpha \mbox{ctg}\beta \mp 1}{\mbox{ctg} \beta \pm \mbox{ctg}\alpha}\) (12)
\(\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}\) (13)
\(\sin \alpha - \sin \beta = 2\sin \frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\) (14)
\(\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}\) (15)
\(\cos \alpha - \cos \beta = - 2\sin \frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\) (16)
\(\mbox{tg}\alpha \pm \mbox{tg}\beta = \frac{\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha \sin \beta}\) (17)
\(\mbox{ctg}\alpha \pm \mbox{ctg}\beta = \frac{\sin (\beta \pm \alpha)}{\cos \alpha \sin \beta}\) (18)
\(\sin^2\alpha - \sin^2\beta = \cos^2\beta - \cos^2\alpha =\\ =\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)\) (19)
\(\cos^2\alpha - \sin^2\beta = \cos^2\beta - \sin^2\alpha =\\= \cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)\) (20)


Формулы преобразования произведения

Формулы преобразования произведения Описание
\(\sin \alpha \sin\beta = \frac{\cos (\alpha -\beta) - \cos (\alpha + \beta)}{2}\) Формула произведения синусов двух углов (21)
\(\cos \alpha \cos \beta = \frac{\cos (\alpha -\beta) + \cos (\alpha + \beta)}{2}\) Формула произведения косинусов двух углов (22)
\(\sin \alpha \cos \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)}{2}\) Формула произведения синуса и косинуса двух углов (23)
\(\mbox{tg}\alpha \mbox{tg}\beta = \frac{\mbox{tg}\alpha+\mbox{tg}\beta}{\mbox{ctg}\alpha+\mbox{ctg}\beta}=-\frac{\mbox{tg}\alpha-\mbox{tg}\beta}{\mbox{ctg}\alpha-\mbox{ctg}\beta}\) Формула произведения тангенсов двух углов (24)
\(\mbox{сtg}\alpha \mbox{сtg}\beta = \frac{\mbox{сtg}\alpha+\mbox{сtg}\beta}{\mbox{tg}\alpha+\mbox{tg}\beta}=-\frac{\mbox{сtg}\alpha-\mbox{сtg}\beta}{\mbox{tg}\alpha-\mbox{tg}\beta}\) Формула произведения котангенсов двух углов (25)

Формулы двойных углов

Формулы сложения и вычитания Доказательство
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha *\cos \alpha \\ \sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha}{2} *\cos \frac{\alpha}{2}\) Формула синуса двойного угла выводятся из формулы синуса суммы двух углов (9) при \(\alpha = \beta\). (26)
\(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha -\sin^2\alpha =1-2\sin^2\alpha = 2\cos^2-1\) Формула косинуса двойного угла выводятся из формулы косинуса суммы двух углов (10) при \(\alpha = \beta\). (27)
\(\mbox{tg}2\alpha = \frac{2\mbox{tg}\alpha}{1-\mbox{tg}^2\alpha}= \frac{2}{\mbox{ctg}\alpha-\mbox{tg}\alpha}\) (28)
\(\mbox{сtg}2\alpha = \frac{\mbox{сtg}^2\alpha-1}{2\mbox{ctg}\alpha}= \frac{\mbox{ctg}\alpha-\mbox{tg}\alpha}{2}\) (29)

Примеры задач по тригонометрии и методы их решения

С примерами задач и методами их решения можно ознакомиться и задать вопросы в разделах [Блоги] и [Вопросы и ответы]

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Основное
Навигация
Инструменты